Вероятность объединения 3 или более наборов

Когда два события являются взаимоисключающими, вероятность их объединения может быть рассчитана с помощью правила сложения. Мы знаем, что при бросании игральной кости выпадение числа больше четырех или числа меньше трех являются взаимоисключающими событиями, не имеющими ничего общего. Итак, чтобы найти вероятность этого события, мы просто добавляем вероятность того, что выпадет число больше четырех, к вероятности того, что выпадет число меньше трех. В символах имеем следующее, где заглавная п обозначает «вероятность»:

п(больше четырех или меньше трех) = п(больше четырех) + п(меньше трех) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Если события нет взаимоисключающие, то мы не просто складываем вероятности событий вместе, а нужно вычесть вероятность пересечения событий. Учитывая события А а также Б:

Здесь мы учитываем возможность двойного учета тех элементов, которые находятся в обоих А а также Б, и именно поэтому мы вычитаем вероятность пересечения.

Отсюда возникает вопрос: «Зачем останавливаться на двух сетах? Какова вероятность объединения более двух наборов?»

Формула союза 3 сетов

Мы распространим изложенные выше идеи на ситуацию, когда у нас есть три множества, которые мы будем обозначать А, Б, а также С. Мы не будем предполагать ничего большего, поэтому существует вероятность того, что множества имеют непустое пересечение. Цель будет состоять в том, чтобы вычислить вероятность объединения этих трех наборов, или п (А U Б U С).

Приведенное выше обсуждение для двух наборов остается в силе. Мы можем сложить вместе вероятности отдельных наборов А, Б, а также С, но при этом мы дважды посчитали некоторые элементы.

Элементы на пересечении А а также Б по-прежнему учитывались дважды, но теперь есть другие элементы, которые потенциально учитывались дважды. Элементы на пересечении А а также С и на пересечении ул. Б а также С теперь также были учтены дважды. Таким образом, вероятности этих пересечений также должны быть вычтены.

Но не слишком ли мы вычли? Есть что-то новое, о чем нам не нужно было беспокоиться, когда было всего два набора. Как любые два множества могут иметь пересечение, так и все три множества могут иметь пересечение. Пытаясь удостовериться, что мы ничего не подсчитали дважды, мы не учитывали все те элементы, которые присутствуют во всех трех наборах. Таким образом, вероятность пересечения всех трех наборов должна быть добавлена ​​обратно.

Вот формула, полученная из приведенного выше обсуждения:

Пример с 2 кубиками

Чтобы увидеть формулу вероятности объединения трех наборов, предположим, что мы играем в настольную игру, в которой нужно бросать два кубика. По правилам игры нам нужно, чтобы хотя бы один из кубиков был двойкой, тройкой или четверкой, чтобы выиграть. Какова вероятность этого? Заметим, что мы пытаемся вычислить вероятность объединения трех событий: выпадения хотя бы одной двойки, выпадения хотя бы одной тройки, выпадения хотя бы одной четверки. Таким образом, мы можем использовать приведенную выше формулу со следующими вероятностями:

• Вероятность выпадения двойки равна 11/36. Числитель здесь исходит из того факта, что есть шесть исходов, в которых первая кость — двойка, шесть, в которых вторая кость — двойка, и один исход, в котором обе кости — двойки. Это дает нам 6 + 6 — 1 = 11.
• Вероятность выпадения тройки равна 11/36 по той же причине, что и выше.
• Вероятность выпадения четверки равна 11/36 по той же причине, что и выше.
• Вероятность выпадения двойки и тройки равна 2/36. Здесь мы можем просто перечислить возможности, два могут быть первыми, или они могут быть вторыми.
• Вероятность выпадения двойки и четверки равна 2/36 по той же причине, по которой вероятность выпадения двойки и тройки равна 2/36.
• Вероятность выпадения двойки, тройки и четверки равна 0, потому что мы бросаем только два кубика, а получить три числа двумя кубиками невозможно.

Теперь воспользуемся формулой и увидим, что вероятность получить хотя бы двойку, тройку или четверку равна

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Формула вероятности объединения 4 наборов

Причина, по которой формула вероятности объединения четырех множеств имеет свой вид, аналогична рассуждениям формулы для трех множеств. По мере увеличения количества сетов увеличивается и количество пар, троек и так далее. В четырех наборах есть шесть попарных пересечений, которые нужно вычесть, четыре тройных пересечения, которые нужно добавить обратно, и теперь четверное пересечение, которое нужно вычесть. Учитывая четыре набора А, Б, С а также Д, формула объединения этих множеств выглядит следующим образом:

Общий шаблон

Мы могли бы написать формулы (которые выглядели бы еще страшнее, чем приведенная выше) для вероятности объединения более четырех множеств, но изучив приведенные выше формулы, мы должны заметить некоторые закономерности. Эти шаблоны применимы для вычисления объединений более чем четырех наборов. Вероятность объединения любого количества наборов можно найти следующим образом: