Как вывести формулу для комбинаций

Увидев формулы, напечатанные в учебнике или написанные учителем на доске, иногда с удивлением обнаруживаешь, что многие из этих формул можно вывести из каких-то фундаментальных определений и тщательных размышлений. Это особенно верно в отношении вероятности при изучении формулы для комбинаций. Вывод этой формулы действительно основан на принципе умножения.

Принцип умножения

Предположим, есть задача, которую нужно выполнить, и эта задача разбита на два этапа. Первый шаг можно сделать в к способами, а второй шаг может быть выполнен в н способы. Это означает, что после перемножения этих чисел количество способов выполнить задачу равно нк.

Например, если у вас есть десять видов мороженого на выбор и три разных начинки, сколько мороженого с одним шариком и одной начинкой вы можете приготовить? Умножьте три на 10, чтобы получить 30 мороженых.

Формирование перестановок

Теперь, используя принцип умножения, выведите формулу для числа комбинаций р элементы, взятые из множества н элементы. Позволять Р (п, г) обозначают количество перестановок р элементы из множества н а также С (п, г) обозначают количество комбинаций р элементы из множества н элементы.

Подумайте о том, что происходит при формировании перестановки р элементы из общего н. Посмотрите на это как на двухэтапный процесс. Сначала выберите набор р элементы из множества н. Это комбинация, и есть С(n, r) способы сделать это. Второй шаг в этом процессе – заказ р элементы с р выбор для первого, р — 1 выбор для второго, р — 2 на третий, 2 на предпоследний и 1 на последний. По принципу умножения есть р Икс (р -1) х. . . х 2 х 1 = р! способы сделать это. Эта формула записана в факториальной записи.

Вывод формулы

Подводя итог, п(н,р ), количество способов образовать перестановку р элементы из общего н определяется:

1. Формирование комбинации из р элементы из общего количества н в любом из С(н,р ) способы
2. Заказ этих р элементы любой из р! способы.

По принципу умножения количество способов составить перестановку равно п(н,р ) = С(н,р ) Икс р!.

Используя формулу перестановок п(н,р ) = н!/(н — р)!, который можно подставить в приведенную выше формулу:

Как было показано, немного размышлений и алгебры могут иметь большое значение. Другие формулы вероятности и статистики также могут быть получены с некоторыми тщательными применениями определений.