Что такое силовой набор?

Один из вопросов теории множеств заключается в том, является ли множество подмножеством другого множества. Подмножество А множество, состоящее из элементов множества А. Для того чтобы Б быть подмножеством А, каждый элемент Б также должен быть элементом А.

Каждое множество имеет несколько подмножеств. Иногда желательно знать все возможные подмножества. В этом помогает конструкция, известная как силовой набор. Силовой набор набора А множество, элементы которого также являются множествами. Этот набор мощностей, образованный включением всех подмножеств данного набора А.

Пример 1

Рассмотрим два примера степенных множеств. Во-первых, если мы начнем с множества А = , тогда какая мощность установлена? Продолжаем перечислять все подмножества А.

• Пустое множество является подмножеством А. Действительно, пустое множество является подмножеством каждого множества. Это единственное подмножество, не имеющее элементов А.
• Множества , , являются единственными подмножествами А с одним элементом.
• Множества , , являются единственными подмножествами А с двумя элементами.
• Каждое множество является подмножеством самого себя. Таким образом А = является подмножеством А. Это единственное подмножество с тремя элементами.

Пример 2

Во втором примере мы рассмотрим множество мощностей Б знак равно Многое из того, что мы сказали выше, похоже, если не идентично сейчас:

• Пустое множество и Б оба являются подмножествами.
• Так как есть четыре элемента Б, есть четыре подмножества с одним элементом: , , , .
• Так как каждое подмножество из трех элементов может быть образовано удалением одного элемента из Б и таких элементов четыре, таких подмножеств четыре: , , , .
• Осталось определить подмножества с двумя элементами. Мы формируем подмножество двух элементов, выбранных из набора 4. Это комбинация, и есть С (4, 2 ) =6 таких комбинаций. Подмножества: , , , , , .

Обозначение

Есть два способа, которыми силовой набор множества А обозначается. Один из способов обозначить это — использовать символ п( А), где иногда эта буква п написано стилизованным шрифтом. Другое обозначение набора мощностей А это 2 А . Это обозначение используется для связи набора мощности с количеством элементов в наборе мощности.

Размер силового набора

Мы рассмотрим это обозначение далее. Если А является конечным множеством с н элементы, то его набор мощности Р( А ) будет 2 н элементы. Если мы работаем с бесконечным множеством, то бесполезно думать о 2 н элементы. Однако теорема Кантора говорит нам, что мощность множества и его мощность не могут совпадать.

В математике оставался открытым вопрос, соответствует ли мощность набора степеней счетно бесконечного множества мощности вещественных чисел. Решение этого вопроса довольно техническое, но говорит о том, что мы можем выбирать, проводить это отождествление мощностей или нет. Оба приводят к последовательной математической теории.

Наборы мощности в вероятности

Предмет вероятности основан на теории множеств. Вместо того, чтобы ссылаться на универсальные множества и подмножества, мы говорим об примерных пространствах и событиях. Иногда, работая с образцом пространства, мы хотим определить события этого пространства образцов. Имеющийся у нас набор мощности демонстрационного пространства даст нам все возможные события.